Kamis, 28 Juni 2012

         TIPS BELAJAR MATEMATIKA
 

      Setiap orang memiliki cara yang unik dalam belajar yang mungkin saja antara yang satu dengan yang lainnya saling berbeda. Oleh sebab tidaklah benar andai dikatakan bahwa model belajar yang satu lebih unggul dibanding model belajar yang lain. Semua tergantung dengan kebiasaan dan potensi masing-masing. Seseorang memang selalu memiliki kecenderungan terhadap model atau cara belajar tertentu. Apakah itu visual, auditorial ataupun kinestetik.
Dalam tulisan ini saya akan memberikan beberapa tips yang bisa Anda ikuti ketika belajar matematika. Beberapa tips mungkin saja cocok dengan Anda, tetapi mungkin juga beberapa tips yang lainnya kurang cocok. Tidak ada yang salah dengan hal itu! Yang perlu diperhatikan adalah Anda tahu potensi dan posisi atau cara dan model belajar yang cocok dan Anda rasakan berguna unntuk mendapatkan hasil belajar yang optimal.

Belajar Matematika tidak Seperti Menonton Olah Raga

       Anda tidak bisa belajar matematika cukup dengan hanya datang ke kelas, melihat guru menerangkan lalu mengerjakan soal. Tetapi lebih dari itu, Anda harus terlibat aktif di dalam setiap proses pembelajaran. Selain datang dan hadir di ruangan kelas ketika pembelajaran berlangsung, Anda juga harus selalu memperhatikan apa yang sedang dijelaskan, membuat catatan setiap materi dengan baik dan tersusun rapih, mengerjakan beberapa pekerjaan rumah meskipun tidak diwajibkan oleh guru. Anda juga perlu belajar dalam jadwal yang teratur, tidak hanya belajar ketika akan diadakan tes. Seperti itulah proses belajar yangn harus Anda lalui.
Pada kenyataannya seringkali kebanyakan siswa sekolah bahkan seorang mahasiswa sekalipun, belajar lebih keras hanya ketika mereka akan menghadapi tes matematika. Sementara di lain waktu dia tidak pernah mengulangi pelajaran yang diterimanya di kelas. Belajar demikian tentunya tidak akan berhasil optimal.

Memahami Prinsip Dasar Matematika

    Walaupun ada saatnya Anda perlu menghapal beberapa bagian ketika belajar matematika, tetapi matematika bukanlah pelajaran hapalan. Sehingga untuk menguasai beberapa konsep matematika, menghapal rumus itu tidaklah cukup. Tentu berbeda halnya ketika Anda akan menghadapi tes pelajaran sejarah. Cukup menghapal nama, kejadian atau peristiwa sejarah atau waktu berupa sekumpulan tanggal, bulan dan tahun, sepertinya Anda bisa melewati tes itu dengan baik.
Selain menghapal beberapa rumus, Anda juga perlu mengetahui beberapa hal yang berkaitan dengan rumus itu, termasuk darimana rumus itu ditemukan (penurunannya), atau batasan-batasan apa saja yang harus dipenuhi agar rumus itu bisa digunakan dengan tepat.
Beberapa rumus seringkali bersifat umum, sehingga diperlukan identifikasi dan analisa jika ingin menggunakan rumus tersebut untuk menyelesaikan sebuah persoalan terkait. Jika Anda tidak memahami bagaimana rumus itu bekerja dan prinsip-prinsip yang ada dibalik rumus itu, bukan tidak mungkin menggunakan rumus justru menjadi terasa lebih sulit. Anda harus mengingat dan memperhatikan itu, atau malah Anda hanya akan mendapatkan jawaban yang keliru.
       Matematika adalah ilmu terstruktur dan bertingkat. Hampir semua materi matematika yang akan Anda pelajari itu saling berkaitan. Untuk bisa memahami beberapa konsep lebih tinggi diperlukan pemahaman terhadap konsep di bawahnya. Sehingga agar tidak bermasalah dengan beberapa konsep di level yang lebih tinggi, konsep-konsep di level sebelumnya itu harus dikuasai dan tidak boleh dilupakan.
Ketiga hal di atas adalah hal utama yang harus Anda perhatikan ketika belajar matematika. Tips di atas tentunya tidak hanya berlaku bagi siswa sekolah, tapi berlaku bagi siapa saja yang ingin belajar matematika di luar sekolah (Homeschooling).

Rabu, 27 Juni 2012

LATIHAN SOAL PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN


LATIHAN SOAL
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Nama : ………………….       Kelas : …………………..      Tanggal : …………………

Jawablah pertanyaan berikut :
1.      Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
a)      L  yang melalui titik (-3,2)
b)      L  yang melalui titik (4,-3)
Jawaban yang diharapkan :
a)       
Titik (-3,2)  x1 = -3 dan y1 = 2
Mengecek posisi titik terhadap lingkaran,dengan mensubstitusikan titik ke persamaan lingkaran L.
L
L
                            13 = 13 (titik terletak pada L  )
Persamaan garis singgungnya : L
                                                 
                                                             -3x + 2y = 13
Jadi persamaan garis singgung lingkaran L  yang melalui titik (-3,2) adalah -3x + 2y = 13
b)       
Titik (4,-3)  x1 = 4 dan y1 = -3
Mengecek posisi titik terhadap lingkaran,dengan mensubstitusikan titik ke persamaan lingkaran L.
L
L
                           25 = 25 (titik terletak pada L  )
Persamaan garis singgungnya : L
                                                 
                                                             4x  - 3y = 25
Jadi persamaan garis singgung lingkaran L  yang melalui titik (4,-3) adalah 4x  - 3y = 25

2.      Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
a)      L  yang melalui titik (-3,1)
b)      L  yang melalui titik (0,2)
Jawaban yang diharapkan :
a)       
Titik (-3,1)    = -3 dan  = 1, terletak pada L  
Persamaan garis singgungnya :
                        (  – a)(  – a) + (  – b)(  – b) =
                        (-3  – 1)(  – 1) + ( 1 – 4 )(  – 4 ) = 25
                                            -  + 4 -  + 12 = 25
                                                   -   -  – 9  = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran L   yang melalui titik (- 3,1) adalah -   -  – 9  = 0
b)       
Titik (0,2)    = 0 dan  = 2, terletak pada L  
Persamaan garis singgungnya :
                        (  – a)(  – a) + (  – b)(  – b) =
                        (0  + 4 )(  + 4) + ( 2 – 2)(  – 2 ) = 16
                                                    + 16 = 16
                                                           4x = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran L    yang melalui titik (2,0 ) adalah 4x = 0
3.      Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang ditarik melalui (0,10)
Jawaban yang diharapkan :
Titik P(0,10) terletak di luar lingkaran L , sebab (0)2 + (10)2 > 25.
o   Garis yang ,melalui titik P(0,10), misalkan gradienya m.
Persamaanya adalah y – 10 = m(x – 0 )  y = mx + 10
o   Substitusi y = mx + 10ke persamaan lingkaran L , diperoleh :
      x 2 + (mx + 10)2 =25.
                                           x 2 + m2x2 + 20mx + 100 =25
                                           ( 1+m2)x2 + 20mx + 75 = 0
                                    Nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan diatas adalah :
                                                D = b2 – 4 ac
                                            D = (20m)2 - 4( 1+m2) 75
                                            D = 400m2  - 300 – 300m2
                                            D = 100m2 - 300
o   Syarat bagi garis singgung adalah D = 0
      100m2 – 300 = 0
                                            100 (m2 – 3) = 0
                                            m =  atau m =
o   Substitusikan nilai m =  atau m =  ke persamaan y = mx + 10
·         Untuk m =   , diperoleh :
y =    x + 10
·         Untuk m = , diperoleh :
y =    x + 10
Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang ditarik melalui titik (0,10) adalah y =    x + 10 dan y =    x + 10
4.      Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran-lingkaran berikut dengan gradien yang disebutkan.
a)      L  dengan gradien 1
b)      L  dengan gradien -3
Jawaban yang diharapkan :
Lingkaran L , pusat di O (0,0) dan jari – jari r = 1
a)      Mempunyai gradien m = 1
Persamaan garis singgungnya adalah :
y = mx  r
                        ↔ y = 1x  1
                        ↔ y = 1x  1
                        ↔ y = 1x  2  dan y = 1x  2
                        Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang mempunyai gradien 1 adalah y = 1x  2  dan y = 1x  2

Lingkaran L , pusat di O (0,0) dan jari – jari r = 2
b)      Mempunyai gradien m = -3
Persamaan garis singgungnya adalah :
y = mx  r
                        ↔ y = -3x  2
                        ↔ y = -3x  2
                        ↔ y = -3x  2  dan y = -3x  2
                        Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang mempunyai gradien -3 adalah y = -3x  2  dan y = -3x  2

5.      Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ,jika :
a)      Garis singgung membentuk sudut 450 terhadap sumbu x positif
b)      Garis singgung tegak lurus garis 4x – 3y + 12 = 0
Jawaban yang diharapkan :
a)      Garis singgung membentuk sudut 450, gradiennya m = tan 450 =
Persamaan garis singgungnya adalah :
y = mx  r
                        ↔ y = x  3
                        ↔ y = x    
                        ↔ y = x    dan y = 3x  
                        Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang  yang membentuk sudut 600 terhadap sumbu x adalah y = x    dan y = 3x  
b)      Garis 4x – 3y + 12 = 0  y =  mempunyai gradien
Garis singgung tegak lurus dengan garis 4x – 3y + 12 = 0 mempunyai gradien m = -  = -
Persamaan garis singgungnya adalah :
y = mx  r
                        ↔ y = - x  3
                        ↔ y = - x  
                        ↔ y =  - x    dan y =  - x  
                        Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang  tegak lurus dengan garis 4x – 3y + 12 = 0   adalah y =  - x    dan y =  - x  


Daftar Pustaka
Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI Semester 1. Jilid 3. Jakarta:
Erlangga.