LATIHAN SOAL PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

LATIHAN SOAL

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Nama : ………………….       Kelas : …………………..      Tanggal : …………………

Jawablah pertanyaan berikut :

1.      Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

a)      L  yang melalui titik (-3,2)

b)      L  yang melalui titik (4,-3)

Jawaban yang diharapkan :

a)       

Titik (-3,2)  x_{1 =} -3 dan y₁ = 2

Mengecek posisi titik terhadap lingkaran,dengan mensubstitusikan titik ke persamaan lingkaran L.

L

L

                            13 = 13 (titik terletak pada L  )

Persamaan garis singgungnya : L

                                                 

                                         ↔                    -3x + 2y = 13

Jadi persamaan garis singgung lingkaran L  yang melalui titik (-3,2) adalah -3x + 2y = 13

b)       

Titik (4,-3)  x_{1 =} 4 dan y₁ = -3

Mengecek posisi titik terhadap lingkaran,dengan mensubstitusikan titik ke persamaan lingkaran L.

L

L

                           25 = 25 (titik terletak pada L  )

Persamaan garis singgungnya : L

                                                 

                                         ↔                    4x  - 3y = 25

Jadi persamaan garis singgung lingkaran L  yang melalui titik (4,-3) adalah 4x  - 3y = 25

2.      Tentukan persamaan garis singgung lingkaran

a)      L  yang melalui titik (-3,1)

b)      L  yang melalui titik (0,2)

Jawaban yang diharapkan :

a)       

Titik (-3,1)    = -3 dan  = 1, terletak pada L  

Persamaan garis singgungnya :

                        (  – a)(  – a) + (  – b)(  – b) =

                        (-3  – 1)(  – 1) + ( 1 – 4 )(  – 4 ) = 25

↔                                            -  + 4 -  + 12 = 25

↔                                                   -   -  – 9  = 0

Jadi persamaan garis singgung lingkaran L   yang melalui titik (- 3,1) adalah -   -  – 9  = 0

b)       

Titik (0,2)    = 0 dan  = 2, terletak pada L  

Persamaan garis singgungnya :

                        (  – a)(  – a) + (  – b)(  – b) =

                        (0  + 4 )(  + 4) + ( 2 – 2)(  – 2 ) = 16

↔                                                    + 16 = 16

↔                                                           4x = 0

Jadi persamaan garis singgung lingkaran L    yang melalui titik (2,0 ) adalah 4x = 0

3.      Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang ditarik melalui (0,10)

Jawaban yang diharapkan :

Titik P(0,10) terletak di luar lingkaran L , sebab (0)² + (10)² > 25.

o   Garis yang ,melalui titik P(0,10), misalkan gradienya m.

Persamaanya adalah y – 10 = m(x – 0 )  y = mx + 10

o   Substitusi y = mx + 10ke persamaan lingkaran L , diperoleh :

      x ² + (mx + 10)² =25.

                                    ↔        x ² + m²x² + 20mx + 100 =25

                                    ↔        ( 1+m²)x² + 20mx + 75 = 0

                                    Nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan diatas adalah :

                                                D = b² – 4 ac

                                    ↔        D = (20m)² - 4( 1+m²) 75

                                    ↔        D = 400m²  - 300 – 300m²

                                    ↔        D = 100m² - 300

o   Syarat bagi garis singgung adalah D = 0

      100m² – 300 = 0

                                    ↔        100 (m² – 3) = 0

                                    ↔        m =  atau m =

o   Substitusikan nilai m =  atau m =  ke persamaan y = mx + 10

·         Untuk m =   , diperoleh :

y =    x + 10

·         Untuk m = , diperoleh :

y =    x + 10

Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang ditarik melalui titik (0,10) adalah y =    x + 10 dan y =    x + 10

4.      Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran-lingkaran berikut dengan gradien yang disebutkan.

a)      L  dengan gradien 1

b)      L  dengan gradien -3

Jawaban yang diharapkan :

Lingkaran L , pusat di O (0,0) dan jari – jari r = 1

a)      Mempunyai gradien m = 1

Persamaan garis singgungnya adalah :

y = mx  r

                        ↔ y = 1x  1

                        ↔ y = 1x  1

                        ↔ y = 1x  2  dan y = 1x  2

                        Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang mempunyai gradien 1 adalah y = 1x  2  dan y = 1x  2

Lingkaran L , pusat di O (0,0) dan jari – jari r = 2

b)      Mempunyai gradien m = -3

Persamaan garis singgungnya adalah :

y = mx  r

                        ↔ y = -3x  2

                        ↔ y = -3x  2

                        ↔ y = -3x  2  dan y = -3x  2

                        Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang mempunyai gradien -3 adalah y = -3x  2  dan y = -3x  2

5.      Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ,jika :

a)      Garis singgung membentuk sudut 45⁰ terhadap sumbu x positif

b)      Garis singgung tegak lurus garis 4x – 3y + 12 = 0

Jawaban yang diharapkan :

a)      Garis singgung membentuk sudut 45⁰, gradiennya m = tan 45⁰ =

Persamaan garis singgungnya adalah :

y = mx  r

                        ↔ y = x  3

                        ↔ y = x    

                        ↔ y = x    dan y = 3x  

                        Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang  yang membentuk sudut 60⁰ terhadap sumbu x adalah y = x    dan y = 3x  

b)      Garis 4x – 3y + 12 = 0  y =  mempunyai gradien

Garis singgung tegak lurus dengan garis 4x – 3y + 12 = 0 mempunyai gradien m = -  = -

Persamaan garis singgungnya adalah :

y = mx  r

                        ↔ y = - x  3

                        ↔ y = - x  

                        ↔ y =  - x    dan y =  - x  

                        Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang  tegak lurus dengan garis 4x – 3y + 12 = 0   adalah y =  - x    dan y =  - x  

Daftar Pustaka

Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI Semester 1. Jilid 3. Jakarta:

Erlangga.