Rabu, 27 Juni 2012

LATIHAN SOAL PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN


LATIHAN SOAL
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Nama : ………………….       Kelas : …………………..      Tanggal : …………………

Jawablah pertanyaan berikut :
1.      Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
a)      L  yang melalui titik (-3,2)
b)      L  yang melalui titik (4,-3)
Jawaban yang diharapkan :
a)       
Titik (-3,2)  x1 = -3 dan y1 = 2
Mengecek posisi titik terhadap lingkaran,dengan mensubstitusikan titik ke persamaan lingkaran L.
L
L
                            13 = 13 (titik terletak pada L  )
Persamaan garis singgungnya : L
                                                 
                                                             -3x + 2y = 13
Jadi persamaan garis singgung lingkaran L  yang melalui titik (-3,2) adalah -3x + 2y = 13
b)       
Titik (4,-3)  x1 = 4 dan y1 = -3
Mengecek posisi titik terhadap lingkaran,dengan mensubstitusikan titik ke persamaan lingkaran L.
L
L
                           25 = 25 (titik terletak pada L  )
Persamaan garis singgungnya : L
                                                 
                                                             4x  - 3y = 25
Jadi persamaan garis singgung lingkaran L  yang melalui titik (4,-3) adalah 4x  - 3y = 25

2.      Tentukan persamaan garis singgung lingkaran
a)      L  yang melalui titik (-3,1)
b)      L  yang melalui titik (0,2)
Jawaban yang diharapkan :
a)       
Titik (-3,1)    = -3 dan  = 1, terletak pada L  
Persamaan garis singgungnya :
                        (  – a)(  – a) + (  – b)(  – b) =
                        (-3  – 1)(  – 1) + ( 1 – 4 )(  – 4 ) = 25
                                            -  + 4 -  + 12 = 25
                                                   -   -  – 9  = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran L   yang melalui titik (- 3,1) adalah -   -  – 9  = 0
b)       
Titik (0,2)    = 0 dan  = 2, terletak pada L  
Persamaan garis singgungnya :
                        (  – a)(  – a) + (  – b)(  – b) =
                        (0  + 4 )(  + 4) + ( 2 – 2)(  – 2 ) = 16
                                                    + 16 = 16
                                                           4x = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran L    yang melalui titik (2,0 ) adalah 4x = 0
3.      Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang ditarik melalui (0,10)
Jawaban yang diharapkan :
Titik P(0,10) terletak di luar lingkaran L , sebab (0)2 + (10)2 > 25.
o   Garis yang ,melalui titik P(0,10), misalkan gradienya m.
Persamaanya adalah y – 10 = m(x – 0 )  y = mx + 10
o   Substitusi y = mx + 10ke persamaan lingkaran L , diperoleh :
      x 2 + (mx + 10)2 =25.
                                           x 2 + m2x2 + 20mx + 100 =25
                                           ( 1+m2)x2 + 20mx + 75 = 0
                                    Nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan diatas adalah :
                                                D = b2 – 4 ac
                                            D = (20m)2 - 4( 1+m2) 75
                                            D = 400m2  - 300 – 300m2
                                            D = 100m2 - 300
o   Syarat bagi garis singgung adalah D = 0
      100m2 – 300 = 0
                                            100 (m2 – 3) = 0
                                            m =  atau m =
o   Substitusikan nilai m =  atau m =  ke persamaan y = mx + 10
·         Untuk m =   , diperoleh :
y =    x + 10
·         Untuk m = , diperoleh :
y =    x + 10
Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang ditarik melalui titik (0,10) adalah y =    x + 10 dan y =    x + 10
4.      Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran-lingkaran berikut dengan gradien yang disebutkan.
a)      L  dengan gradien 1
b)      L  dengan gradien -3
Jawaban yang diharapkan :
Lingkaran L , pusat di O (0,0) dan jari – jari r = 1
a)      Mempunyai gradien m = 1
Persamaan garis singgungnya adalah :
y = mx  r
                        ↔ y = 1x  1
                        ↔ y = 1x  1
                        ↔ y = 1x  2  dan y = 1x  2
                        Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang mempunyai gradien 1 adalah y = 1x  2  dan y = 1x  2

Lingkaran L , pusat di O (0,0) dan jari – jari r = 2
b)      Mempunyai gradien m = -3
Persamaan garis singgungnya adalah :
y = mx  r
                        ↔ y = -3x  2
                        ↔ y = -3x  2
                        ↔ y = -3x  2  dan y = -3x  2
                        Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang mempunyai gradien -3 adalah y = -3x  2  dan y = -3x  2

5.      Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L ,jika :
a)      Garis singgung membentuk sudut 450 terhadap sumbu x positif
b)      Garis singgung tegak lurus garis 4x – 3y + 12 = 0
Jawaban yang diharapkan :
a)      Garis singgung membentuk sudut 450, gradiennya m = tan 450 =
Persamaan garis singgungnya adalah :
y = mx  r
                        ↔ y = x  3
                        ↔ y = x    
                        ↔ y = x    dan y = 3x  
                        Jadi persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang  yang membentuk sudut 600 terhadap sumbu x adalah y = x    dan y = 3x  
b)      Garis 4x – 3y + 12 = 0  y =  mempunyai gradien
Garis singgung tegak lurus dengan garis 4x – 3y + 12 = 0 mempunyai gradien m = -  = -
Persamaan garis singgungnya adalah :
y = mx  r
                        ↔ y = - x  3
                        ↔ y = - x  
                        ↔ y =  - x    dan y =  - x  
                        Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran L  yang  tegak lurus dengan garis 4x – 3y + 12 = 0   adalah y =  - x    dan y =  - x  


Daftar Pustaka
Wirodikromo, Sartono. 2004. Matematika untuk SMA Kelas XI Semester 1. Jilid 3. Jakarta:
Erlangga.

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar